Le théorème de Holditch

Abstract

Soit une corde de longueur donnée qui glisse sur une courbe convexe fermée (C). Considérons un point de cette corde qui la divise en deux segments de longueur a et b. Ce point décrit une nouvelle courbe (C'). Sous certaines hypothèses, l'aire comprise entre les deux courbes (C) et (C') est donnée par πab. Ce résultat a été démontré par le mathématicien anglais H. Holditch en 1858. Dans cet article, nous commentons l'évolution de ce théorème et de ses méthodes de démonstration de 1858 à nos jours. Nous en donnons une forme plus actuelle (1981), qui s'affranchit des hypothèses de convexité notamment, et qui est due au mathématicien Suédois Arne Broman. Nous développons également quelques applications géométriques classiques (cardioïde, épicycloïdes, système bielle-manivelle).