Densité de suites trigonométriques

Résumé
Cet article porte sur la densité dans [-1;1] de certaines suites réelles définies à l'aide d'un cosinus. Il est établi dans un premier temps, par une méthode constructive, que les suites et sont denses dans [ -1 ; 1 ] et que la suite est dense dans [0;1] si . Le cas nous conduit à des problèmes ouverts concernant la mesure d'irrationalité de . Concernant la suite nous établissons le résultat suivant: est dense dans [-1;1] si, et seulement si, la suite des quotients partiels de est bornée, ce qui nous confronte à un second problème ouvert. Il est à remarquer que, si cette suite est peut-être dense dans [0;1], son comportement est étonnant puisque pour , par exemple, seuls 10 termes de cette suite excèdent 10^-6 en valeur absolue! La dernière partie de l'article porte sur des suites de la forme où (u_n)_n est une suite équirépartie dans . Les théorèmes de Van der Corput et de Koksma nous permettent de ramener l'étude de suites de la forme et , où P est un polynôme et une suite géométrique, au cas précédent.