Le problème des diviseurs de Dirichlet

Résumé

Le présent article s'intéresse à un célèbre problème de théorie des nombres toujours non résolu: le problème des diviseurs de Dirichlet. Soit n ≥ 1 un entier et on note τ(n) le nombre de ses diviseurs positifs. Il est facile de voir que cette fonction τ a un comportement très erratique. Cet article passe en revue les différentes études en moyenne et asymptotique de la fonction τ comme par exemple:

où γ ≈ 0,577 215 664  est la constante d'Euler–Mascheroni, θ ∈ [0,1[ et β ≥ 0 est un réel sans grande importance. Le problème des diviseurs de Dirichlet consiste alors à déterminer le plus petit θ ∈ [0,1[ telle que l'estimation ci-dessus soit vraie.