Sommes de carrés dans un corps fini

Résumé

Ce court article est consacré à des études combinatoires dans , un corps de caractéristique p, de cardinal q = p^f. Plus précisément, pour et , on cherche à calculer le nombre de façons d'écrire x comme somme (ordonnée) de k carrés:

.

En particulier, est le nombre de façons d'écrire x comme carré, c'est-à-dire le nombre de racines carrées de x dans , est le nombre de façons d'écrire x comme somme ordonnée de deux carrés dans .

La première section est consacrée au cas très particulier de la caractéristique p = 2. Pour traiter le cas d'une caractéristique p impaire, on sépare le cas des fonctions N₁ et N₂ (ce dernier cas requiert des calculs plus sophistiqués sur les caractères du groupe additif ), puis l'on donne une formule générale pour toutes les fonctions N_k à l'aide d'une relation de récurrence.